Collective chaos and strange coherence in a network of chaotic elements

Abstract

In order to examine whether the collective chaos, which is a macroscopic and low dimensional chaos, can be observed in the collective motion of Globally Coupled Map (GCM), a method to characterize the orbital instability of macroscopic motion was developed. For the characterization, the collective Lyapunov exponent, which is the growth rate of small displacement of the macroscopic variable, was introduced. By the method, the length scale in the phase space that separates the macroscopic and microscopic scale can also be evaluated. For collective chaos, such a scale of the separation decreases to zero in the thermodynamic limit. The positive collective Lyapunov exponent, and the separation scale that approaches zero with the increase of system size were obtained by applying the above method to GCM with heterogeneous parameters, i.e. inhomogeneous (distributed) ones, for each element. Hence the existence of collective chaotic motion in the heterogeneous GCM was firstly confirmed. The existence of external noise in the microscopic scale, i.e. in each element, may destroy the coherence among elements. However, the emergence of clearer structures was found at the macroscopic variable with the increase of noise. In GCM, it was shown that the existence of heterogeneity or external noise makes the collective chaos possible. On the other hand, the degree of freedom of macroscopic motion was suggested to be infinity in GCM with identical elements. In this case, the separation of scale between macroscopic and microscopic was gradual, and this collective coherence was called the strange coherence.

巨視的で低次元のカオスである集団カオスが、大域結合写像(GCM)の集団運動において観測されるであろうかということを検討するために、マクロな運動の軌道不安定性を特性化する方法を、展開した。その特性化のために、巨視的変数の小さな変位の成長度である集団リャプノフ指数を導入した。この方法により、巨視性と微視性を分離する相空間での長さスケールをも評価することができる。集団カオスについては、そのような分離スケールは熱力学的極限で零になる。上述の方法を各素子に対して不均質、すなわち不均一(分散)パラメータを持つGCMに適用することにより、正の集団リャプノフ指数および系の大きさが増大するとともに零に近づく分離スケールを求めた。このようにして、不均質GCMにおける集団カオスの存在を、初めて確認した。微視的なスケールすなわち各素子に外部ノイズが存在すると、素子間のコヒーレンス性を破壊する。しかし、ノイズが増大するとともに、巨視的変数に一層明確な構造が出現することを見出した。GCMにおいて、不均質性と外部ノイズのあることが、集団カオスを可能とすることが示される。一方では、同種の素子を持つGCMにおいては、巨視的運動の自由度は無限であることが示唆される。ここで、巨視性と微視性のスケールの分離は漸進的であり、この集団コヒーレンスをストレンジコヒーレンスと呼ぶ。