ジャパニーズ・アトラクターの多重フラクタル解析

Abstract

As a result of recent analyses for fractal dimension of various phenomena and complex figures in many fields, fractal analysis has been recognized to be useful. It has been also known that there are the attractors of the figures or chaos having globally no uniform fractal structures, i.e., having locally different fractal dimensions. This report describes the deduction of the global spectrum f(alpha) and the clarification of the multifractal structure by introducing the concept of multifractal taking into account of the local halftone information for the strange attractor (Ueda attractor or Japanese attractor) of 'chaos' which was found from the study on the chaotic oscillation phenomenon of nonlinear electronic circuits by Yoshisuke Ueda in 1961. The consideration in performing appropriate numerical calculations was also presented. In the appendix, the results of multifractal analysis for the chaos attractor of a rotation pendulum were presented.

近年、様々な分野でみられる多様な現象や複雑な図形のフラクタル次元の解析が試みられ、その有用性が認識されてきた。その中で、大域的には均一なフラクタル構造を有していない、すなわち、局所的にフラクタル次元が異なる図形やカオスのアトラクタが存在することが知られている。本論文は非線形電気回路のカオス的振動現象の研究から、1961年に上田よし亮氏によって歴史上初めて発見された「カオス」の奇妙なアトラクタ(上田アトラクタ、または、ジャパニーズ・アトラクタ)について局所的な濃淡情報を考慮した多重フラクタルの概念を導入し、その大域的スペクトラムf(α)を求め、多重フラクタル構造を明らかにした。また、数値計算を適切に行う上での留意点についても考察した。付記として、回転振り子のカオス・アトラクタの多重フラクタル解析の結果も併せて記載した。