A note on definition of chaos

Abstract

A chaotic dynamical system is defined to be a pair (X, f) of a compact metric space X and a continuous map f mapping onto X satisfying the conditions: (1) f is topologically transitive; (2) periodic points of f are dense in X; and (3) f has sensitive dependence on initial conditions. H. Kato has introduced a slightly weaker version of chaos, replacing (2) by (2') that the union of all minimal set for f is dense in X instead of (2). This paper established the result that two conditions (1) and (2') implies (3), and hence f is weakly chaotic in the sense of Devaney.

カオティックな力学系は次の3条件を満たすコンパクト距離空間Xと連続写像fの組(X、f)として定義される。(1)fは位相的遷移であること。(2)fの周期点はXで稠密であること。(3)fは初期値に高度に依存すること。H.Katoは条件(2)を、(2')fに関する極小集合の和集合はXにおいて稠密であること、に置き換えることで、これより少し弱いカオス力学系の概念を導入した。本論文では、条件(1)、(2')から(3)が導かれること、すなわち(1)、(2')がDevaneyの言う意味での弱いカオス力学系の条件であることを証明した。